Peluang Kejadian Saling Bebas


Untuk memahami pengertian kejadian saling bebas, cermati ilustrasi berikut ini
Pada suatu hari terjadi dialog antara seorang dokter bedah dengan pasiennya:

Konsultasi pasien dengan dokter
Sumber: www.mirror.co.uk

 

Dokter : "Bu, penyakit yang ibu derita ini cukup langka dan berbahaya. Satu-satunya jalan harus melalui operasi. Namun, peluang berhasilnya operasi ini cukup kecil, cuma 1 dari 10 operasi yang berhasil. Tapi kabar baiknya, kemarin saya sudah habis melakukan operasi terhadap 9 orang pasien dan semuanya meninggal. Nah ibu adalah pasien ke-10, yang merupakan 1 dari 10 yang akan berhasil itu. Bagaimana, ibu setuju operasi?"


Pasien : "oke lah kalo begitu Tentu saja dialog di atas adalah bukan cerita sebenarnya. Kita gunakan di sini untuk mengilustrasikan peluang dari dua kejadian yang saling bebas (independent) agar supaya kalian bisa memahami peluang ini dalam konteks kehidupan nyata Pada contoh di atas disebutkan bahwa peluang operasi berhasil adalah 1/10. Kejadian yang menimpa pasien sebelumnya tidak mempengaruhi peluang pasien berikutnya, keduanya saling bebas (independent). Walaupun dikatakan sudah ada 9 pasien sebelumnya yang melakukan operasi dan meninggal, maka peluang pasien ke-10 berhasil operasi adalah tetap 1/10, terbebas apakah pasien sebelumnya berhasil atau tidak. Dalam hal ini, peluang masing-masing pasien dikatakan saling bebas"


Contoh lain dari peluang saling bebas adalah pada pelemparan sebuah dadu. Peluang munculnya mata dadu 3 adalah 1/6, berapa kalipun dilakukan pelemparan. Dan peluang ini terbebas dari kejadian sebelumnya, berapapun hasil sebelumnya.

Dalam pengambilan kartu remi (atau kartu bridge), peluang kita mendapat kartu As pada pengambilan pertama adalah 4/52 (1/13). Berapa peluang kita mendapatkan As lagi pada pengambilan kedua? Tergantung apakah kita mengembalikan kartu yang kita ambil pada pengambilan pertama atau tidak? Kalau kita kembalikan, maka peluang pengambilan kartu kedua adalah saling bebas dari pengambilan pertama, atau dengan kata lain tetap 4/52.

Tetapi, jika sendainya pada pengambilan pertama tidak dikembalikan, maka peluang kita mendapat As pada pengambilan kedua tergantung pada hasil pengambilan yang pertama. Hal ini dikatakan kedua kejadian tidak saling bebas. Kalau pada pengambilan pertama ternyata mendapatkan kartu As, maka peluang mendapatkan As lagi pada pengambilan kedua adalah 3/51. Hal ini karena kartu As tinggal tersisa 3 lembar dari kartu yang tinggal 51 lembar tersebut (satu diambil dan tidak dikembalikan)

Apa yang ada di benak kalian setelah mendengar baru saja ada pesawat yang mengalami kecelakaan ? Kalau secara statistik, misalnya peluang terjadi insiden pesawat adalah 1 dari 1 juta jam terbang, apakah adanya pesawat mengalami kecelakaan akan mengurangi atau menambah peluang tersebut? Apakah kita akan bilang, "sekarang naik pesawat akan aman karena baru saja terjadi kecelakaan pesawat, dan akan ada kecelakaan pesawat lagi nanti setelah 1 juta jam terbang"? Tentu pendapat itu sangat salah, peluang kecelakaan tetaplah 1 dari 1 dari satu juta jam terbang.
Nah dengan ilustrasi di atas tentu kalian paham menentukan apakah dua kejadian saling bebas atau tidak, sehingga keputusan yang akan kalian ambil tidak akan salah.

Secara matematika Jika A dan B dua kejadian dirumuskan sebagai berikut :


Perhatikan contoh berikut
Dua dadu dilempar bersama-sama, Tentukan peluang mata dadu pertama kurang dari 3 dan mata dadu kedua lebih dari 3.


Jika kita pandang sebagai dua kejadian berdiri sendiri maka
Kejadian A, mata dadu pertama kurang dari 3, A= {1,2}, n(A)= 2
Ruang sampel n(S) = 6
Peluang kejadian A,
Kejadian B, mata dadu kedua lebih dari 3, B= {4,5,6}, n(B)= 3
Ruang sampel n(S) = 6
Peluang kejadian B,
Peluang Mata dadu pertama kurang dari 3 dan mata dadu kedua lebih dari 3 ,

Jika kita memandang Kejadian A dan B terdapat pada satu kejadian , maka Ruang sampel n(S) = 36
A={(1,1,), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}
n(A)= 12

B={(4,1,), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) 5,1,), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}
n(B)= 18





Ternyata kejadian tersebut terbukti kejadian saling bebas dan dihitung dengan 3 cara hasilnya sama, hal ini dapat disimpulkan jika kalian telah yakin bahwa dua kejadian itu saling bebas maka kalian cukup menghitung dengan salah satu dari cara di atas.

Untuk membedakan dengan kejadian yang tidak saling bebas perhatikan contoh berikut :

Dua dadu dilempar undi bersama-sama. Kejadian A adalah kejadian mata dadu pertama dan kedua angkanya sama. kejadian B adalah kejadian mata dadu berjumlah 6. Selidiki apakah kejadian tersebut saling bebas.

Penyelesaian
A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}, n(A) = 6
B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}, n(B) = 5



Jadi A dan B bukan kejadian saling bebas, karena munculnya kejadian A berpengaruh terhadap terhadap munculnya kejadian B.

Untuk memahami penggunakaan peluang kejadian saling lepas pada persmasalahan nyata , perhatikan Contoh berikut
Pada daerah Cipinang sering terjadi hujan, terkadang banjir terkadang tidak. Karena daerah tersebut dekat sungai yang ciliwung yang bagian hulunya ada di daerah bogor sehingga daerah cipinang sering juga



terkena banjir walaupun tidak hujan. Pada suatu hari peluang Hari hujan saja 40 %, sedangkan terjadi banjir saja 50 % . Tentukan perapa persen peluang terjadi hujan atau banjir.
Peluang Hujan = P(H) = 0,4
Peluang Banjir = P(B) = 0,5
Karena bisa terjadi hujan tetapi tidak banjir dan terjadi banjir tetapi tidak hujan maka kedua kejadian saling bebas sehingga kejadiaannya maka peluang kejadian hujan dan banjir dapat dikalikan

Sehingga terjadi hujan atau banjir adalah 70 %